Jedrzej Schmeidel (aka Yunnan)

Rozklad a priori
Niech w zrandomizowanej grze statystycznej (\Teta, D,R) parametr \teta \in \Teta jest o określonym rozkładzie prawdopodobieństwa, oraz \Sigma będzie najmniejszym \sigma – ciałem podzbiorów zbioru \Teta zawierającym wszystkie jednoelementowe podzbiory zbioru \Teta, oraz oraz względem którego funkcje ryzyka są mierzalne dla każdego \delta \in D.
Rozkładem a priori parametru \teta nazywamy miarę probabilistyczną \pi określoną na przestrzeni (\Teta, \Sigma). Przez \Pi oznaczamy zbiór wszystkich rozkładów a priori na (\Teta, \Sigma).
Zbiór \Teta można utożsamić z podzbiorem zbioru \Pi skąłdającym się ze wszystkich rozkładów a priori skoncentrowanych w pojedynczych punktach zbioru \Teta.
Każdy rozkład a priori \pi pozwala uporządkować funkcje decyzyjne.

2. BAYES
Poszukiwanie funkcji decyzyjnej przy zasadzie Bayesa opiera się na ty, że stan natury \teta w grze (\Teta, D, R) jest zmienną losową o znanym rozkładzie prawdopodobieństwa.
Zasada Bayesa polega na uporządkowaniu zbioru funkcji decyzyjnych według wielkości ryzyka bayesowskiego dla ustalonego rozkładu a priori.
Definicja
Ryzykiem bayesowskim zrandomizowanej funkcji decyzyjnej \delta \in \D względem rozkładu a priori \pi \in \Pi nazywamy całkę (o ile istnieje i jest skończona):
(41)
Definicja
Ryzykiem bayesowskim niezrandomizowanej funkcji decyzyjnej d \in D względem rozkładu a priori nazywamy całke
(41),
Zakąłdając że ona istnieje i jest skończona.

By monika on gru 18, 2010

\documentclass [12pt] {article}
\usepackage{polski}
\usepackage[cp1250]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amscd}
\usepackage{latexsym}
\newtheorem{tw}{TWIERDZENIE}[section]
\newtheorem{lm}[tw]{LEMAT}
\newtheorem{wl}[tw]{W{\L}ASNO{\’S}{\’C}}
\newtheorem{df}[tw]{DEFINICJA}
\newtheorem{wn}[tw]{WNIOSEK}
\newtheorem{uw}[tw]{UWAGA}
\newtheorem{zd}[tw]{ZADANIE}
\newtheorem{pr}[tw]{Przyk{\l}ad}
\newcommand{\bd}{\bf Dow{\’o}d:}
\newcommand{\ed}{\hfill $\Box$\\}

\begin{document}

\section{Gry statystyczne}

W teorii decyzji statystycznych strukturę gry statystycznej tworzą
następujące elementy:\\
$\bullet$ $\Theta$ to niepusty możliwy zbiór stanów natury, \\
$\bullet$ $\theta$ – stan natury, $ \theta \in \Theta,$ \\
$\bullet$ $A$ to zbiór akcji dostępny graczowi,\\
$\bullet$ $a$ – decyzja gracza, $ a\in A$,\\
$\bullet$ $L(\theta,a)$ to funkcja straty określona na zbiorze $\Theta
× A$, wynikająca z akcji gracza $a \in A$, przy stanie natury $ \theta
\in \Theta$. \\
Powyższa gra jest to gra dwuosobowa o sumie zero, gdzie jednym graczem
jest stan natury $\theta \in \Theta$, oraz gracz zwany statystykiem
który wybiera akcję $a \in A$ nie znając stanu natury. Konsekwencją jest
strata (lub zysk przy ujemnych wartościach) wyznaczony przez funkcję $
L: \Theta \times A\ \rightarrow \mathbb{R} $.\\

Zagadnienie optymalizacji decyzji polega więc na poszukiwaniu takiej
decyzji, która będzie najlepszą decyzją w sensie przyjętego wskaźnika
jakości tzn. decyzją minimalizującą funkcję straty.\\
Statystyk ma możliwość zebrania informacji o wyborze stanu natury
poprzez doświadczenia i obserwację zmiennej losowej $X$ o rozkładzie
$P_{\theta}, \ \theta \in \Theta$. Grę $(\Theta, A, L)$ połączoną z
wynikiem eksperymentu $X$ nazywamy statystycznym problemem decyzyjnym
lub grą statystyczną. \\
Funkcja decyzyjna $d(x)$ wskazuje graczowi, którą decyzje $a \in A$ ma
wybrać na podstawie eksperymentu $x$.

\begin{df}
Gra wyznaczona przez trójkę $(\Theta, A, L)$ nazywana jest pierwotną grą
statystyczną, odpowiadającą statystycznemu problemowi decyzyjnemu.
\end{df}

\subsection{Niezrandomizowane funkcje decyzyjne}

\begin{df}
Funkcją ryzyka dla funkcji decyzyjnej $d: \mathcal{X} \rightarrow a$
jest wartość oczekiwana funkcji strat $ L(\theta, d(X)) $ tzn.
\begin{equation}
R(\theta, d(x)) = E_{\theta}[L(\theta, d(X)] = \int_{\mathcal{X}}
L(\theta, d(x)) dP_{\theta}(x), \ \ \theta \in \Theta
\end{equation}
\end{df}

\begin{df}
Funkcję $d: \mathcal{X} \rightarrow a$ nazywa się niezrandomizowaną
funkcją decyzyjną jeśli istnieje i jest skończona funkcja ryzyka
\end{df}
Zbiór niezrandomizowanych funkcji decyzyjnych oznacza się przez $D$.\\\\
Pierwotną grę statystyczną $(\Theta, A, L)$ zastąpimy prze nową, gdzie
zamiast zbioru $A$ rozpatrujemy zbiór $D$, oraz zamiast funkcji straty
$L$ funkcję ryzyka $R$. Funkcja ryzyka $R$ oraz przestrzeń $D$ jest
zależna od funkcji straty $L$, od zbioru akcji $A$ oraz rozkładu
prawdopodobieństwa zmiennej $X$.

\end{document}

By kazia on gru 28, 2010